Bonjour pourrais-je avoir de l'aide sur cette exo de maths je n'y arrive pas. (u_{n}) est la suite définie par u_{0} = 1 et, pour tout entier naturel n >= 1 u n

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1) a) Soit Un+1  = f(Un)

              2Un^2 = l    

b) l'unicité de la limite  donne l solution de l'équation  f(l) =l
soit 2l)^2 = l
       2l^2 - l = 0
       l(2l - 1) = 0
      l = 0 ou 2l-1 = 0
      l = 0 ou l = 1/2

2) a) Initialisation U1= 2X1^2 = 2 >= 1 la propriété est vraie pour n = 1

       Hérédité :
admettons Un >= 1
                   Un^2 >=1²
                   Un^2 >= 1
et               2Un^2 >= 2 donc 2Un^2 >= 2
si Un >= 1  alors U +1 >= 1
L'hérédité est vérifiée
La propriété est héréditaire et vraie pour n = 1; elle est donc vraie pout tout entier naturel >=1

  b) Un>= 1 donc la limite ne peut être égal à 0 ou 0,5; la suite n'est donc pas convergnete, elle est donc divergente

3)
a) Soit U0 = 0,25 alors lim Un = 0
(La suite est décroissante et minorée par zéro elle est donc convergente

b) C'est impossible

Bonjour,

u₀ = 1 ; uₙ₊₁ = 2 uₙ²

1.a.  Si lim uₙ = l alors lim (2 uₙ²) = 2l²

b. lim uₙ = lim uₙ₊₁ ⇔ l = 2l² ⇔ l = 0 ou l = 0,5

c. u₀ = 1 ⇒ u₀ ≥ 1

Soit n un entier naturel tel que uₙ ≥ 1

On a 2 uₙ² ≥ 2

Soit uₙ₊₁ ≥ 1

Nous avons ainsi démontrer par récurrence que pour tout entier n :

uₙ ≥ 1

2.a. de la question précédente, on peut déduire que si (uₙ) est convergente alors sa limite est supérieure ou égale à 1

b. Supposons que (uₙ) est une convergente.

D'après la question 1, sa limite est soit 0 soit 0,5

Absurde selon la question 2.a

Nous avons ainsi démontrer par l'absurde que (uₙ) est divergente.

3.a. Si -0,5 < u₀ < 0,5 alors 0 < u₁ < 0,5 et la suite (uₙ) est décroissante à partir du rang 1

(on peut le montrer en étudiant la fonction x → x - 2x² sur ]0 ; 0,5[)

A partir du rang 1, (uₙ) est décroissante et bornée ( 0 < uₙ < 0,5 pour tout n>0)

Elle est donc convergente.

On en déduit que sa limite est 0

b. Si |u₀| = 0,5 alors u₁ = 0,5

Et on montre par récurrence que uₙ = 0,5 pour tout n > 0

La suite est donc constante à partir du rang 1

Elle est ainsi convergente de limite 0,5